সাধারণ গণিত

অধ্যায়সমূহ

অধ্যায় ১

বাস্তব সংখ্যা

অনুশীলনী ১বাস্তব সংখ্যা·২২টি সমস্যা·বইয়ের পৃষ্ঠা ১৮ – ২০

এই অনুশীলনীর আগে বইয়ের আলোচনায় যে সূত্রগুলো এসেছে, সেগুলো একসঙ্গে। নিচের সমাধানগুলোতে সূত্রগুলো প্রমাণ ছাড়াই ব্যবহার করা হয়েছে — আগে একবার পড়ে নিলে প্রতিটি ধাপ পরেরটির সঙ্গে আপনিই মিলে যাবে।

সংখ্যাগুলো কে কোথায়

$N = {1, 2, 3, 4, \dots}$
স্বাভাবিক সংখ্যা বা ধনাত্মক অখণ্ড সংখ্যা। এদের মধ্যে $2, 3, 5, 7, \dots$ মৌলিক এবং $4, 6, 8, 9, \dots$ যৌগিক। দুইটি স্বাভাবিক সংখ্যার গ.সা.গু. $1$ হলে এদেরকে পরস্পর সহমৌলিক বলা হয়।
$Z = {\dots, - 2, - 1, 0, 1, 2, \dots}$
শূন্যসহ সকল ধনাত্মক ও ঋণাত্মক অখণ্ড সংখ্যা মিলে পূর্ণসংখ্যা।
$\frac{p}{q}, q \neq = 0, q \neq = 1$
ভগ্নাংশ সংখ্যা, যেখানে $q$ দ্বারা $p$ নিঃশেষে বিভাজ্য নয়। $p < q$ হলে প্রকৃত, $p > q$ হলে অপ্রকৃত ভগ্নাংশ।
$মূলদ = {\frac{p}{q} : p, q \in Z, q \neq = 0}$
সকল পূর্ণসংখ্যা ও সকল ভগ্নাংশই মূলদ সংখ্যা। যে কোনো মূলদ সংখ্যাকে দুইটি সহমৌলিক সংখ্যার অনুপাত হিসেবেও লেখা যায়।
$2, 3, \frac{5}{2}, \dots$
যে সংখ্যাকে $\frac{p}{q}$ আকারে প্রকাশ করা যায় না, সেটি অমূলদ। পূর্ণবর্গ নয় এরূপ যে কোনো স্বাভাবিক সংখ্যার বর্গমূল অমূলদ।
$বাস্তব = মূলদ \cup অমূলদ$
সকল মূলদ ও সকল অমূলদ সংখ্যা একসঙ্গে বাস্তব সংখ্যা। শূন্য থেকে বড় হলে ধনাত্মক, ছোট হলে ঋণাত্মক, আর শূন্যসহ সকল ধনাত্মক সংখ্যা অঋণাত্মক।

দশমিক ভগ্নাংশ — কোনটি মূলদ, কোনটি নয়

$0.12, 3.4152$
সসীম দশমিক ভগ্নাংশ — দশমিক বিন্দুর ডানে অঙ্কের সংখ্যা সসীম। প্রতিটি সসীম দশমিক মূলদ।
$2. 5 ˙ = 2.555 \dots, 3. 1 ˙ 2 4 ˙ = 3.124124 \dots$
আবৃত বা পৌনঃপুনিক দশমিক — একটি অঙ্ক আবৃত হলে তার উপর একটি বিন্দু, একাধিক অঙ্ক আবৃত হলে কেবল প্রথম ও শেষ অঙ্কের উপর বিন্দু। প্রতিটি আবৃত দশমিকও মূলদ।
$2 = 1.4142135 \dots$
অসীম অনাবৃত দশমিক — শেষও হয় না, পুনরাবৃত্তিও হয় না। এগুলোই অমূলদ সংখ্যা।
$1. 3 ˙ বিশুদ্ধ, 4.23 5 ˙ 1 2 ˙ মিশ্র$
দশমিক বিন্দুর পর কেবল আবৃত অংশ থাকলে বিশুদ্ধ পৌনঃপুনিক, আগে কিছু অনাবৃত অঙ্ক থাকলে মিশ্র পৌনঃপুনিক ভগ্নাংশ।

আবৃত দশমিককে সাধারণ ভগ্নাংশে

$লব = (দশমিক বিন্দু বাদ দিয়ে পাওয়া সংখ্যা) - (অনাবৃত অংশের সংখ্যা)$
দশমিক ও পৌনঃপুনিক বিন্দু উঠিয়ে যে পূর্ণসংখ্যা পাওয়া যায়, তা থেকে আবৃত অংশ বাদ দিয়ে বাকি অঙ্ক দিয়ে গঠিত সংখ্যাটি বিয়োগ।
$হর = আবৃত অঙ্ক যতগুলো 9 \dots 9 অনাবৃত অঙ্ক যতগুলো 0 \dots 0$
আবৃত অঙ্ক যতগুলো ততগুলো ৯, তার ডানে অনাবৃত অঙ্ক যতগুলো ততগুলো ০।
$42.34 7 ˙ 8 ˙ = \frac{423478 - 4234}{9900}$
আবৃত অঙ্ক দুইটি ( $78$ ) — তাই দুইটি ৯; অনাবৃত অঙ্ক দুইটি ( $34$ ) — তাই দুইটি ০। লবে $4234$ বিয়োগ হয়েছে, কারণ আবৃত অংশ বাদ দিলে $42.34$ থেকে $4234$ পাওয়া যায়।

সদৃশ আবৃত দশমিক

$অনাবৃত অঙ্ক সংখ্যা = max (n_{1}, n_{2}, \dots)$
প্রত্যেকটির অনাবৃত অংশ বাড়িয়ে সবচেয়ে বেশিটির সমান করতে হয়। সসীম দশমিকের ক্ষেত্রে ডানে শূন্য বসিয়ে বাড়ানো হয়।
$আবৃত অঙ্ক সংখ্যা = ল . সা . গু . (r_{1}, r_{2}, \dots)$
আবৃত অংশগুলো বারবার লিখলে সংখ্যার মান বদলায় না, তাই প্রত্যেকটির আবৃত অংশকে ল.সা.গু. সংখ্যক অঙ্কে টেনে নেওয়া যায়।

চার প্রক্রিয়া

যোগ ও বিয়োগ — আগে সদৃশ করো
সদৃশ করার পর সসীম দশমিকের নিয়মেই যোগ বা বিয়োগ। এতে প্রাপ্ত ফল প্রকৃত ফল নয়।
ডানপ্রান্তের হাতের সংখ্যা শেষ অঙ্কে বসাও
সদৃশকৃত সংখ্যাগুলোর আবৃত অংশের সর্বডানের অঙ্কগুলো যোগ (বা বিয়োগ) করলে যে হাত থাকে, তা ফলের সর্বডানের অঙ্কের সাথে যোগ (বা তা থেকে বিয়োগ) করলেই প্রকৃত ফল।
গুণ ও ভাগ — আগে সাধারণ ভগ্নাংশে নামাও
আবৃত দশমিকগুলোকে সাধারণ ভগ্নাংশে পরিণত করে গুণ বা ভাগ সেরে ফলটিকে আবার দশমিকে প্রকাশ করতে হয়।

মান ও আসন্ন মান

$5.4325893 \dots ⟶ 5.4325$
চার দশমিক স্থান পর্যন্ত মান — যতগুলো স্থান চাওয়া হয়েছে ততগুলো অঙ্ক যেমন আছে তেমনই লেখা হয়।
$5.4325893 \dots ⟶ 5.4326$
চার দশমিক স্থান পর্যন্ত আসন্ন মান — পরের স্থানের অঙ্ক $5, 6, 7, 8$ বা $9$ হলে শেষ অঙ্কের সাথে $1$ যোগ; $0, 1, 2, 3$ বা $4$ হলে অঙ্কটি অপরিবর্তিত থাকে।

বাস্তব সংখ্যার মৌলিক বিধি

$a + b = b + a, ab = ba$
বিনিময় বিধি — যোগ ও গুণে ক্রম বদলালে ফল বদলায় না।
$(a + b) + c = a + (b + c), (ab) c = a (b c)$
সংযোগ বিধি।
$a (b + c) = ab + a c$
বণ্টন বিধি।
$a < b \Rightarrow a + c < b + c$
অসমতায় উভয়পক্ষে একই সংখ্যা যোগ করলে দিক বদলায় না। তবে গুণে $c > 0$ হলে $a c < b c$ , আর $c < 0$ হলে $a c > b c$ ।

বইয়ের সমাধানকৃত উদাহরণ

উদাহরণ ১

3

এবং

4

এর মধ্যে দুইটি অমূলদ সংখ্যা নির্ণয় করো।

উদাহরণ ২

প্রমাণ করো যে, যেকোনো চারটি ক্রমিক স্বাভাবিক সংখ্যার গুণফলের সাথে

1

যোগ করলে যোগফল একটি পূর্ণবর্গ সংখ্যা হবে।

উদাহরণ ৩

\frac{3}{11}

ও

\frac{95}{37}

কে দশমিক ভগ্নাংশে প্রকাশ করো।

উদাহরণ ৪

0. 3 ˙

0. 2 ˙ 4 ˙

এবং

42.34 7 ˙ 8 ˙

কে সাধারণ ভগ্নাংশে প্রকাশ করো।

উদাহরণ ৫

5.23 4 ˙ 5 7 ˙

কে সাধারণ ভগ্নাংশে প্রকাশ করো।

উদাহরণ ৬

45.2 3 ˙ 4 6 ˙

কে সাধারণ ভগ্নাংশে প্রকাশ করো।

উদাহরণ ৭

32. 5 ˙ 6 7 ˙

কে সাধারণ ভগ্নাংশে প্রকাশ করো।

উদাহরণ ৮

5. 6 ˙

7.3 4 ˙ 5 ˙

ও

10.78 4 ˙ 2 3 ˙

কে সদৃশ আবৃত দশমিক ভগ্নাংশে পরিণত করো।

উদাহরণ ৯

1.7643

3. 2 ˙ 4 ˙

ও

2.78 3 ˙ 4 6 ˙

কে সদৃশ আবৃত দশমিক ভগ্নাংশে পরিণত করো।

উদাহরণ ১০

3. 8 ˙ 9 ˙

2.1 7 ˙ 8 ˙

ও

5.89 7 ˙ 9 8 ˙

যোগ করো।

উদাহরণ ১১

8.9 4 ˙ 7 8 ˙

2.346

ও

4. 7 ˙ 1 ˙

যোগ করো।

উদাহরণ ১২

8.2 4 ˙ 3 ˙

থেকে

5.24 6 ˙ 7 3 ˙

বিয়োগ করো।

উদাহরণ ১৩

24.45 6 ˙ 4 5 ˙

থেকে

16. 4 ˙ 3 7 ˙

বিয়োগ করো।

উদাহরণ ১৪

4. 3 ˙

কে

5. 7 ˙

দ্বারা গুণ করো।

উদাহরণ ১৫

0.2 8 ˙

কে

42. 1 ˙ 8 ˙

দ্বারা গুণ করো।

উদাহরণ ১৬

2.5 \times 4.3 5 ˙ \times 1.2 3 ˙ 4 ˙

কত?

উদাহরণ ১৭

7. 3 ˙ 2 ˙

কে

0.2 7 ˙

দ্বারা ভাগ করো।

উদাহরণ ১৮

2. 2 ˙ 71 8 ˙

কে

1.9 1 ˙ 2 ˙

দ্বারা ভাগ করো।

উদাহরণ ১৯

9.45

কে

2.8 6 ˙ 3 ˙

দ্বারা ভাগ করো।

উদাহরণ ২০

13

এর বর্গমূল নির্ণয় করো এবং তিন দশমিক স্থান পর্যন্ত আসন্ন মান লিখো।

উদাহরণ ২১

4.4623845 \dots

এর

1, 2, 3, 4

ও

5

দশমিক স্থান পর্যন্ত মান ও আসন্ন মান কত?

বহুনির্বাচনি প্রশ্ন (১ – ৪)

প্রশ্ন ১

নিচের কোনটি অমূলদ সংখ্যা?
ক)

0. 3 ˙

খ)

\frac{16}{9}

গ)

3 \frac{8}{27}

ঘ)

\frac{5}{3}

প্রতিটি বাক্স তার ভিতরের সবগুলোকে ধরে রাখে — প্রতিটি স্বাভাবিক সংখ্যা পূর্ণসংখ্যা, প্রতিটি পূর্ণসংখ্যা ও ভগ্নাংশ মূলদ, আর মূলদ ও অমূলদ মিলেই বাস্তব সংখ্যা। বাক্স দুইটি পাশাপাশি, কারণ কোনো সংখ্যা একই সাথে মূলদ ও অমূলদ হতে পারে না।

প্রশ্ন ২

a, b, c, d

চারটি ক্রমিক স্বাভাবিক সংখ্যা হলে নিচের কোনটি পূর্ণবর্গ সংখ্যা?
ক)

ab c d

খ)

ab + c d

গ)

ab c d + 1

ঘ)

ab c d - 1

প্রশ্ন ৩

1

থেকে

10

পর্যন্ত মৌলিক সংখ্যা কয়টি?
ক)

3

খ)

4

গ)

5

ঘ)

6

প্রশ্ন ৪

a

ও

b

দুইটি পূর্ণসংখ্যা হলে

a^{2} + b^{2}

এর সাথে নিচের কোনটি যোগ করলে যোগফল একটি পূর্ণবর্গ সংখ্যা হবে?
ক)

- ab

খ)

ab

গ)

2 ab

ঘ)

ab

প্রমাণ ও নির্ণয় (৫ – ৭)

প্রশ্ন ৫

প্রমাণ করো যে, প্রতিটি সংখ্যা অমূলদ।

ক
$5$
খ
$7$
গ
$10$

প্রশ্ন ৬

নির্ণয় করো:

ক
$0.31$ এবং $0.12$ এর মধ্যে দুইটি অমূলদ সংখ্যা নির্ণয় করো।
a = √2⁄10 = 0.1414… এবং b = √3⁄10 = 0.1732…, দুইটিই 0.12 ও 0.31 এর মাঝে পড়ে এবং দুইটিই অসীম অনাবৃত দশমিক, তাই অমূলদ।
খ
$\frac{1}{2}$ এবং $2$ এর মধ্যে একটি মূলদ এবং একটি অমূলদ সংখ্যা নির্ণয় করো।
তিনটি সংখ্যাকেই হর 2 দিয়ে লিখলে √2⁄2 < √4⁄2 < √6⁄2 < √8⁄2 — অর্থাৎ 1 (মূলদ) ও √6⁄2 (অমূলদ) দুইটিই 1/√2 ও √2 এর মধ্যে।

প্রশ্ন ৭

প্রমাণ করো যে, দুইটি ক্রমিক জোড় সংখ্যার গুণফল

8

(আট) দ্বারা বিভাজ্য।

দশমিক ও সাধারণ ভগ্নাংশে রূপান্তর (৮ – ১০)

প্রশ্ন ৮

আবৃত দশমিক ভগ্নাংশে প্রকাশ করো:

ক
$\frac{1}{6}$
খ
$\frac{7}{11}$
গ
$3 \frac{2}{9}$
ঘ
$3 \frac{8}{15}$

প্রশ্ন ৯

সাধারণ ভগ্নাংশে প্রকাশ করো:

ক
$0. 2 ˙$
খ
$0. 3 ˙ 5 ˙$
গ
$0.1 3 ˙$
ঘ
$3.7 8 ˙$
ঙ
$6. 2 ˙ 30 9 ˙$

প্রশ্ন ১০

সদৃশ আবৃত দশমিক ভগ্নাংশে প্রকাশ করো:

ক
$2.2 3 ˙$ , $5. 2 ˙ 3 5 ˙$
খ
$7.2 6 ˙$ , $4.23 7 ˙$
গ
$5. 7 ˙$ , $8. 3 ˙ 4 ˙$ , $6. 2 ˙ 4 5 ˙$
ঘ
$12.32$ , $2.1 9 ˙$ , $4.32 5 ˙ 6 ˙$

আবৃত দশমিকের যোগ, বিয়োগ, গুণ ও ভাগ (১১ – ১৪)

প্রশ্ন ১১

যোগ করো:

ক
$0.4 5 ˙ + 0.1 3 ˙ 4 ˙$
খ
$2.0 5 ˙ + 8.0 4 ˙ + 7.018$
গ
$0.00 6 ˙ + 0. 9 ˙ 2 ˙ + 0. 1 ˙ 3 4 ˙$

প্রশ্ন ১২

বিয়োগ করো:

ক
$3. 4 ˙ - 2.1 3 ˙$
খ
$5. 1 ˙ 2 ˙ - 3.4 5 ˙$
গ
$8.49 - 5.3 5 ˙ 6 ˙$
ঘ
$19.34 5 ˙ - 13. 2 ˙ 34 9 ˙$

প্রশ্ন ১৩

গুণ করো:

ক
$0. 3 ˙ \times 0. 6 ˙$
খ
$2. 4 ˙ \times 0. 8 ˙ 1 ˙$
গ
$0.6 2 ˙ \times 0. 3 ˙$
ঘ
$42. 1 ˙ 8 ˙ \times 0.2 8 ˙$

প্রশ্ন ১৪

ভাগ করো:

ক
$0. 3 ˙ \div 0. 6 ˙$
খ
$0.3 5 ˙ \div 1. 7 ˙$
গ
$2.3 7 ˙ \div 0.4 5 ˙$
ঘ
$1. 1 ˙ 8 5 ˙ \div 0. 2 ˙ 4 ˙$

বর্গমূল ও শ্রেণিবিন্যাস (১৫ – ১৬)

প্রশ্ন ১৫

চার দশমিক স্থান পর্যন্ত বর্গমূল এবং তিন দশমিক স্থান পর্যন্ত সেগুলোর আসন্ন মান লিখো:

ক
$12$
খ
$0. 2 ˙ 5 ˙$
গ
$1. 3 ˙ 4 ˙$
ঘ
$5.1 3 ˙ 0 2 ˙$

প্রশ্ন ১৬

নিচের কোন সংখ্যাগুলো মূলদ এবং কোন সংখ্যাগুলো অমূলদ লিখো:

ক
$0. 4 ˙$
খ
$9$
গ
$11$
ঘ
$\frac{6}{3}$
ঙ
$\frac{8}{7}$
চ
$\frac{27}{48}$
ছ
$\frac{\frac{2}{3}}{\frac{3}{7}}$
জ
$5. 6 ˙ 3 9 ˙$

নমুনা প্রশ্ন — বহুনির্বাচনি (১৭ – ২০)

প্রশ্ন ১৭

তিনটি ক্রমিক স্বাভাবিক সংখ্যার গুণফল সর্বদাই নিচের কোন সংখ্যা দ্বারা বিভাজ্য হবে?
ক)

5

খ)

6

গ)

7

ঘ)

11

প্রশ্ন ১৮

a

ও

b

দুইটি ক্রমিক জোড় সংখ্যা হলে নিচের কোনটি বিজোড় সংখ্যা?
ক)

a^{2}

খ)

b^{2}

গ)

a^{2} + 1

ঘ)

b^{2} + 2

প্রশ্ন ১৯

a = 3

এবং

b = 12

হলে —

(i)

ab

একটি মূলদ সংখ্যা

(ii)

\frac{a}{b}

একটি মূলদ সংখ্যা

(iii)

(a + b)

একটি বাস্তব সংখ্যা
নিচের কোনটি সঠিক?
ক)

i

ও

ii

খ)

i

ও

iii

গ)

ii

ও

iii

ঘ)

i, ii

ও

iii

প্রশ্ন ২০

a = 3

এবং

b = 12

হলে নিচের কোনটি

a

ও

b

এর মধ্যবর্তী অমূলদ সংখ্যা?
ক)

\frac{3 3}{2}

খ)

\frac{3 3}{4}

গ)

\frac{3}{2}

ঘ)

\frac{3}{4}

a = √3 = 1.732…, b = √12 = 3.464…; 3√3⁄2 = 2.598… ঠিক মাঝখানে পড়ে, আর √3 অমূলদ বলে 3√3⁄2ও অমূলদ।

নমুনা প্রশ্ন — সৃজনশীল ও সংক্ষিপ্ত-উত্তর (২১ – ২২)

প্রশ্ন ২১

n = 2 m - 1

, যেখানে

m \in N

।

ক
যোগ করো: $0. 7 ˙ + 0.1 5 ˙$
খ
দেখাও যে, $n^{2}$ থেকে $1$ বিয়োগ করলে বিয়োগফল সর্বদা $8$ (আট) দ্বারা বিভাজ্য।
গ
$m = 3$ হলে প্রমাণ করো যে, $n$ একটি অমূলদ সংখ্যা।

প্রশ্ন ২২

সংক্ষিপ্ত-উত্তর প্রশ্ন:

ক
$a = 0. 2 ˙$ এবং $b = 0. 3 ˙$ হলে দেখাও যে, $(a + b)$ একটি মূলদ সংখ্যা।
খ
বর্গমূল নির্ণয় না করে দেখাও যে, $10$ সংখ্যাটি $3$ ও $4$ এর মধ্যে অবস্থিত।
9 < 10 < 16 বলে √9 < √10 < √16, অর্থাৎ 3 < √10 < 4 — বর্গমূলটি না বের করেই কথাটা পড়া যায়।
গ
$1.25 7 ˙ 4 ˙$ ও $0.3 6 ˙ 1 2 ˙$ আবৃত দশমিক ভগ্নাংশদ্বয়কে সদৃশ আবৃত দশমিক ভগ্নাংশে প্রকাশ করো।